Bernhard Riemann „Über die Hypothesen, welche der Geometrie by Bernhard Riemann

By Bernhard Riemann

In diesem Werk wird einer der klassischen Texte der Mathematik umfassend historisch, mathematisch, physikalisch und philosophisch von Jürgen Jost ausführlich kommentiert und die gesamte Entwicklung dieser Disziplinen eingeordnet. Neben dem Urtext wird auch der historisch wichtige Kommentarteil von Hermann Weyl wiedergegeben.

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4. Der euklidische Raum ist nicht nur leer, sondern auch unbegrenzt und unendlich. Der Unterschied zwischen diesen beiden Eigenschaften wurde wiederum erst durch Riemann geklärt, der darlegte, dass Mannigfaltigkeiten durchaus unbegrenzt sein können, ohne unendlich sein zu müssen (in heutiger Terminologie wären dies geschlossene kompakte Mannigfaltigkeiten wie beispielsweise die Kugeloberfläche und deren höherdimensionale Analoga, s. die untenstehenden Erläuterungen zu Riemanns Text). Die Unendlichkeit des Raumes ist ebenfalls lange aus naturphilosophischen und theologischen Erwägungen abgelehnt worden, von Aristoteles bis noch zu Kepler.

Wie auch heute noch üblich, musste Riemann der Fakultät für seine Habilitation drei verschiedene Themen für eine Probevorlesung zur Auswahl angeben. Es war aber meist üblich, dass das erste Thema ausgewählt wurde. So wählte Riemann dann die ersten beiden Themen nach seinen derzeitigen mathematischen Forschungsthemen und gab dann als drittes Thema dasjenige zu den Grundlagen der Geometrie an. Zu seiner Überraschung wählte die Fakultät dann aber, wohl auf Betreiben von Gauß,46 das letzte Thema aus, und die Vorbereitung seines diesbezüglichen Vortrages innerhalb der gesetzten Frist versetz45 Riemann berief sich dabei in seinen privaten Aufzeichnungen insbesondere auf den Philosophen Johann Friedrich Herbart (1776–1841) und nennt diesen auch am Anfang seiner Schrift, s.

1. Wir hatten schon die Herausarbeitung der auf der euklidischen Geometrie beruhenden der Linearperspektive in Theorie und Praxis der Malerei der Renaissance dargestellt, welche wiederum auf den euklidisch vorgestellten Ausbreitungsgesetzen von Lichtstrahlen beruhte. In der dahinterstehenden Konzeption der Projektion des euklidischen Raumes auf eine Ebene werden parallele Geraden als sich im Unendlichen treffend vorgestellt, und ein solcher unendlichferner Schnittpunkt, also ein Bündel paralleler Geraden, wird im Fluchtpunkt zusammengezogen.

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